สมการนาเวียร์–สโตกส์: อ่านให้เห็นมวล แรง และความเร่ง

สิ่งที่จะอ่านออกหลังจบบท

ผู้เรียนจะอธิบายความเร่งสองชนิด ระบุหน่วยแต่ละพจน์ และบอกได้ว่าเมื่อใดสมการรูปนี้ไม่เพียงพอ เราใช้ของไหลต่อเนื่องแบบ Newtonian ไม่อัดตัว ความหนาแน่น ρ และความหนืดพลวัต μ คงที่ ไม่ได้อ้างว่ารูปนี้ครอบคลุมอากาศทุกสภาวะ NASA แสดงชุดสมการทั่วไป ซึ่งรวมสมการพลังงานด้วย

สองสมการที่ต้องทำงานร่วมกัน

การอนุรักษ์มวล: ∇ · u = 0

โมเมนตัม: ρ[∂u/∂t + (u · ∇)u] = −∇p + μ∇²u + ρf

u เป็นเวกเตอร์ความเร็ว ไม่ใช่ความเร็วหนึ่งตัวเลข ส่วน ∇ เป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ตามตำแหน่ง เครื่องหมายจุดใน ∇ · u วัดการไหลออกสุทธิต่อปริมาตร และ ∇²u วัดความโค้งเชิงพื้นที่ของความเร็ว

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วย SI
u, t	ความเร็วและเวลา	m/s, s
ρ, μ	ความหนาแน่นและความหนืดพลวัต	kg/m³, Pa·s
p	ความดันสถิต	Pa
f	แรงปริมาตรต่อหน่วยมวล เช่น ความเร่งโน้มถ่วง	m/s²
∂u/∂t	ความเร็วเปลี่ยน ณ ตำแหน่งเดิม	m/s²
(u · ∇)u	ความเร่งจากการเคลื่อนผ่านสนามความเร็ว	m/s²

พจน์ทั้งสองข้างของสมการโมเมนตัมมีหน่วย N/m³ ความหนืดจลน์ ν = μ/ρ มีหน่วย m²/s ระวังอย่าใส่ ν ในช่องที่ต้องการ μ

Steady ไม่ได้หมายความว่าไม่มีความเร่ง

น้ำไหลผ่านส่วนที่แคบลงอาจมีสนามความเร็วคงที่ตามเวลา แต่อนุภาคที่เคลื่อนจากส่วนกว้างไปส่วนแคบยังเร็วขึ้น นั่นคือพจน์ (u · ∇)u ส่วนคำว่า incompressible ไม่ได้หมายความว่าความดันคงที่ ความดันยังเปลี่ยนเพื่อรักษาสมดุลแรงและการอนุรักษ์มวลได้

ต้องกำหนดเงื่อนไขขอบเขตด้วย เช่น ความเร็วที่ผนังนิ่งเป็นศูนย์ตาม no-slip และเงื่อนไขทางเข้า/ออกที่เข้ากันได้ สมการโดยไม่มีขอบเขตยังไม่ใช่ปัญหาที่มีคำตอบเฉพาะ

ตัวอย่าง: ลดเหลือสมดุลในช่องไหล

ให้แผ่นขนานนิ่งที่ y = 0 และ H สนามความเร็วเป็น u = (u(y), 0, 0) และพัฒนาเต็มที่ คือรูปร่างโปรไฟล์ไม่เปลี่ยนตาม x สมมติ steady และไม่มีแรงปริมาตรตาม x จะเหลือ 0 = −dp/dx + μ d²u/dy² เมื่อ Δp = p_in − p_out เป็นบวก จะมี dp/dx = −Δp/L

ใช้ Δp = 0.01 Pa, L = 1 m และ μ = 0.0000181 Pa·s ได้ d²u/dy² = −552.486 m⁻¹s⁻¹ พจน์แรงดันเป็น +0.01 N/m³ ส่วนพจน์ความหนืดเป็น −0.01 N/m³ จึงสมดุลกัน ความโค้งติดลบทำให้กราฟความเร็วโค้งคว่ำ ดูเงื่อนไขและคำตอบเต็มที่ ห้องทดลองช่องไหล ซึ่งอ้างอิงโจทย์มาตรฐาน MIT Couette & Poiseuille Flows

เมื่อใดต้องเพิ่มฟิสิกส์

หากความหนาแน่นเปลี่ยนอย่างมีนัยสำคัญ ต้องกลับไปใช้ continuity แบบ ∂ρ/∂t + ∇ · (ρu) = 0 และเลือกสมการโมเมนตัมที่เหมาะกับของไหลอัดตัว หากอุณหภูมิ การถ่ายเทความร้อน หรือการอัดตัวสำคัญ ต้องพิจารณาสมการพลังงาน สมการสถานะ และสมบัติที่เปลี่ยนตามอุณหภูมิด้วย สำหรับใบพัดให้ตรวจความเร็วเฉพาะที่ โดยเฉพาะปลายใบ ไม่ใช้เพียงความเร็วเดินหน้าของลำ

แบบฝึกพร้อมแนวคำตอบ

โจทย์: ช่องเดิมเพิ่ม μ สองเท่าโดยตรึง Δp, L และ H ความโค้งและความเร็วเปลี่ยนอย่างไร?

แนวคำตอบ: d²u/dy² และ u ทุกตำแหน่งลดเหลือครึ่งหนึ่ง สมดุล μd²u/dy² ยังเท่าเดิม เพราะแรงดันเท่าเดิม ข้อนี้เป็นการเปรียบเทียบภายใต้สมมติฐาน laminar เดิม ไม่ใช่กฎทั่วไปของทุกสนามไหล

ต่อไป: ใช้ Reynolds และ Mach เลือกแบบจำลอง

บรรณานุกรม

• NASA Glenn — Navier–Stokes Equations
• MIT OCW 2.25 — Couette & Poiseuille Flows

ตรวจแหล่งต้นทาง 26 กันยายน 2569